Ich dichte, du dichtest, Gauß ist am Dichtesten (Zufallsverteilung/dichten)

Aufteilungen

Wichtigster unterschied zwischen mehreren Verteilung ist, ob sie diskret oder stetig sind. Dies gilt genauso für die darunterliegende Zufallsvariable.

Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn $X = \{X(w) \mid w \in \Omega\}$ abzählbar ist. Zudem gilt natürlich wenn $\Omega$ diskret ist, sind alle ZV das auch.

Stetig ist dann natürlich so was wie $X \subseteq \mathbb{R}$.

Erwartung gleich 0

Der Erwartungswert ist der durchschnittlich zu erwartende Wert einer ZV.

Es gibt folgende Rechenregeln:

• $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

• $E(aX +b) = aE(X) + b$

• $E(|X+Y|) \le E(|X|) + E(|Y|)$

• und wenn X, Y stoch. unabhängig sind: $E(f(X) \cdot g(Y)) = E(f(X)) \cdot E(g(Y))$

Diskrete ZV

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x p_X(x) dx$

Wobei $p_X$ die Zähldichte von $X$. Also $p_X(x) = P(X = x)$. Beispiel: Bei Würfel 6 gewinnst du 1€ sonst verlierst du. Dann ist die Zähldichte:

$p_X(x) = \begin{cases} \frac{5}{6}, & x = 0 \\ \frac{1}{6}, & x = 1 \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$

Stetige ZV

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x)dx$,

wobei $f_X(x)$ die Dichtefunktion von $X$ ist. Für sie gilt: $P_X((a,b]) = P(a < X \le b) = \int_a^b f(x)dx$. Zudem $f(x) \ge 0, x \in \mathbb{R}$ und $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$

Notation $X \sim f_x$ hat Dichte

Varianz

Die Varianz berechnet sich durch $\sigma_X^2 = Var(X) = E((X - E(X))^2)$ Das wichtigste sit der Verschiebungssatz:

$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

Weitere Rechenregeln:

• $Var(aX) = a^2Var(X)$
• $E(X) = 0 \implies Var(X) = E(X^2)$
• $X,Y$ stoch. unabhängig $\implies Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$

Dichtetransformationssatz

Sei $f_X(x)$ eine Dichtefunktion für $X=(a,b), a < b$ und sei $g(x) = y$ eine stetig differenzierbare Funktion mit Umkehrfunktion $g^{-1}(y) = x$.

Dann ist die Dichte $f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot |g^{-1'}(x)|$ (die Ableitung der Umkej).

Schritt für schritt also prüfen:

• Prüfen ob $g(x)$ stetig differenzierbar ist. Meistens einfach: einfach sagen ja polynom ist stetig diff`bar, $ln, e, \sin, \cos$ sowieso.
• Prüfen ob $g(x)$ eine Umkehrfunktion hat. Also prüfen ob $g(x)$ bijektiv ist. Einfacher: surjektiv und injektiv seperat checken.
• Dichtetransformationssatz anwenden.

Verteilungen

Das Problem: Stocha ist sehr unübersichtlich. Schon allein bei der Bezeichnung der ganzen Verteilungen die jetzt gleich runtergerattert werden, gibt es unterschiedliche Benennungen. Ich werde es hier einheitlich halten. Ihr müsst diese ganzen Sachen überhaupt nicht auswendig können. Ihr müsst nur wissen, dass sie existieren.

Verteilungsfunktionen werden mit $F_X(x)$ geschrieben, für sie gilt: $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt, x \in \mathbb{R}$

Somit gilt: $P(X \le x) = F_X(x)$ und $P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$

Eine Verteilungsfunktion muss monoton wachsend und rechtssteig sein. Zudem gilt:

$\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ und $\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1$

Die Quantilfunktion $F_X^{-1}(p)$ ist die "praktisch" die Umkehrfunktion von $F_X(x)$. Genauer definiert ist sie:

$F^{-1}= \{w \in \mathbb{R} \mid F(w) \ge p\}$

Diskrete Verteilungen

• Binomial Verteilung: $X \sim Bin(n,p)$ heißt Binomialverteilt, es kommt natürlich vom Binomialkoeffizienten.
  $P(X = k) = p_X(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ mit Parameter $n \in \mathbb{N}$ und $p \in [0,1]$

  Erwartungswert: $E(X) = np$
  Varianz: $Var(X) = np(1-p)$
  

• Bernoulli Verteilung: $X \sim Ber(p)$ ist eine spezielle Binomialverteilung mit $n = 1$
  

  Erwartungswert: $E(X) = p$
  Varianz: $Var(X) = p(1-p)$
  

• Poisson Verteilung: $X \sim Poi(\lambda)$
  $P(X = k) = p_X(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$ mit Parameter $\lambda > 0$
  

  Erwartungswert: $E(X) = \lambda$
  Varianz: $Var(X) = \lambda$
  Rechenregel: $X \sim Pois(\lambda_1), Y \sim Pois(\lambda_2)$ unabhängig $\implies X + Y \sim Pois(\lambda_1 + \lambda_2)$

• Geometrische Verteilung: Siehe Formelsammlung

• Hypergeometrische Verteilung: Siehe Formelsammlung

• Negative Binomialverteilung: Siehe Formelsammlung

Stetige Verteilungen

• Gleichverteilung $X \sim U(a,b)$
  $f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a < x < b \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$

  Erwartungswert: $E(X) = \frac{a+b}{2}$
  Varianz: $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$
  Verteilungsfunktion: $F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \le x \le b \\ 1, & x > b \end{cases}$

• Exponentialverteilung $X \sim Exp(\lambda)$
  $f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ mit Parameter $\lambda > 0$
  

  Erwartungswert: $E(X) = \frac{1}{\lambda}$
  Varianz: $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$
  Verteilungsfunktion: $F_X(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}$

• Normalverteilung $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
  $f_X(x) = \varphi_{(\mu, \sigma^2)} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ mit Parameter $\mu \in \mathbb{R}, \sigma^2 > 0$
  

  Erwartungswert: $E(X) = \mu$
  Varianz: $Var(X) = \sigma^2$
  Verteilungsfunktion: $F_X(x) = \Phi_{(\mu, \sigma^2)}(x) = \int_{\infty}^x \varphi_{(\mu, \sigma^2)}(t) dt$
  

  Wichtiges zu beachten:
  

  • Bei der Normalverteilung liest man meistens Werte von einer Tabelle ab. Da ihr sicher nicht diese Formel mit dem Ubuntu Taschenrechner ausrechnen wollt.
  • Wie das genau geht kommt unten.
  • Die Standardnormalverteilung hat die Parameter $\mu = 0, \sigma^2 = 1$ und wird mit $\Phi$ und $\varphi$ bezeichnet.

  Rechenregeln:

  • Ist $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, dann ist $X^* = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$. Sehr wichtig
  • Somit gilt $\Phi_{(\mu, \sigma^2)}(x) = \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})$ und $\varphi_{(\mu, \sigma^2)}(x) = \frac{1}{\sigma}\varphi(\frac{x-\mu}{\sigma})$
  • Sind $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ und $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ unabhängig, dann ist $aX+bY \sim N(a\mu_1 + b\mu_2, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$
  • Sind $X_1, ..., X_n$ unabhängig und $X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$, dann ist $\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ und $\overline{X}^* = \sqrt{n} \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

• Betaverteilung: Siehe Formelsammlung

• Gammaverteilung: Siehe Formelsammlung